IPU ／統計デモ 01

サイコロで見る中心極限定理 Central Limit Theorem

サイコロを n 回振って、出た目の平均を記録する。これを何セットも繰り返すと、平均値そのものの分布ができる。どんなに歪んだサイコロを使っても、n を大きくすればその分布は正規分布に近づいていく。

1 セットで振る回数 n

この n 個の目の平均が、1 セットの結果になる

横軸のスケール

固定にすると 1/√n の縮みが直接見える

理論曲線 N(μ, σ/√n) 期待値 μ の線

① サイコロの各目の確率

棒を上下にドラッグするか＋ / − で変更できます。合計が 1 になるよう他の目が自動調整されます。

目の期待値 μ

–

population mean

目の標準偏差 σ

–

population SD

1 セットの回数 n

–

sample size

セット数 K

＝標本平均の個数

標本平均の平均

–

理論値＝ μ

標本平均のSD（実測）

–

observed

標準誤差 σ/√n（理論）

–

theoretical

標本平均の歪度

–

0 に近いほど左右対称

n を 1 から順に上げてみる：n = 1 なら当然サイコロの形そのもの。n = 2 で三角形、n = 3 でもう釣鐘型に見えはじめ、n = 10 でほぼ正規分布に重なる。
サイコロを歪ませても同じ：「1 と 6 だけ」のような極端なサイコロでも、n を大きくすれば標本平均の分布は正規分布に近づく。これが中心極限定理。歪度の数値が 0 に近づいていくのを見る。
中心は動かない：n を変えても中心はいつも目の期待値 μ のまま。E[X̄] = μ
縮むのは幅だけ：SD(X̄) = σ/√n。n を 4 倍にすると幅は半分になる。実測SDと理論値の 2 つの数字を並べて確認できる。
K と n の違い：K（セット数）を増やしてもヒストグラムが滑らかになるだけで、幅は縮まない。幅を決めるのは n。ここは混同しやすい。
とびとびの値：平均は必ず「合計 ÷ n」なので 1/n きざみの値しか取らない。n が小さいうちは階段状に見え、n が大きくなるほど連続的な曲線に近づく。